设A是V的线性变换性质是

（1）设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α)；[2]

（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变；

（3）线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。

关于线性变换和特征值的理解[3]

首先我们来看这样一个事实。一个二维的直角坐标系XOY，然后逆时针方向旋转了ө角变为X’OY’后，考察会发现XOY和 X’OY’的坐标系之间存在这样的转化关系。就是说在XOY坐标系下的某一个点在X’OY’坐标系下的坐标变了 。那么我们同样来考察一下这两个坐标系下的基坐标。就是来考察在XOY坐标系下的基坐标 (1,0)和(0,1)在新的坐标系X’OY’下的 基坐标下的投影大小用(1,0)和(0,1)来表示为这样的。注意，这里的矩阵的排列是前面两个基坐标系数方程的转置矩阵，之所以写为转置矩阵是因为我们习惯这样来写基坐标的线性变换A =( , ) 。我们可以看到这样的旋转变换的目的就是把坐标系旋转后来看一下。这样的旋转角度一旦确定以后，我们就能够得到原来的老坐标下的坐标点在新坐标系下的坐标为 。注意的是，这里的坐标是右乘变换矩阵。

线性变换数学定义在一般的高等代数学书中都可以找到。A(a+b)=Aa+Ab,Aka=kAa。其中a，b是V中的线性空间。这个定义就是说把空间中的元素（特殊地想为三维空间的向量）经过一个变换，而这种变换是具有线性的特性的。那么这种变换的从一个元素转变到另外一个元素的对应关系，我们可以用前面的一个矩阵来表示，称为线性变换矩阵。