泛函中重要的方程

欧拉-拉格朗日方程

这个方程是泛函中非常重要的方程，也是非常经典的能量泛函极小化的方法，不论在物理还是计算机领域，应用非常广泛。所谓能量泛函，是指微分的范数平方再积分。

它的最初的思想来源于微积分中“可导的极值点一定是稳定点（临界点）”。它的精髓思想在于：假定当前泛函的解已知，那么这个解必然使得泛函取得最小值（假定是最小值）。换言之，只要在泛函中加入任何扰动，都会使泛函的值变大，所以扰动为0的时候，就是泛函关于扰动的一个极小值。所以当扰动的能量趋近于0，泛函关于扰动的导数也是0。关键是扰动如何表示。答案是扰动用一个很小的数e乘上一个连续函数。当e趋近于0,意味着扰动也趋近于0。所以当a为0的时候，泛函对a的导数也为0。这就非常巧妙的把对函数求导的问题转化成了一个单因子变量求导的问题。这就是这个思想的伟大之处。

泛函分析的基本概念都是什么？

二十世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、几何的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。