弦定理的变形及应用

变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

(3)sinA=,sinB=,sinC=.

应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.

b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.

一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.

①A为锐角时

②A为直角或钝角时.

(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.

3.余弦定理

在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;

b2=c2+a2-2accosB；

c2=a2+b2-2abcosC；

变形公式：

cosA=,cosB=,cosC=

在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.

4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π

0＜A，B，C＜π

sin=sin=cos

sin(A+B)=sinC

特别地，在锐角三角形中，sinA＜cosB,sinB＜cosC,sinC＜cosA.

弦定理中的相交弦定理是什么？

弦定理中的相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）