巴拿赫不动点定理

个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：

为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。

首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。

其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。

那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((up, vp))=(xp, yp)。

又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。

事实上，取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。

现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。

根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

开启HTTP Keep-Alive之后，能复用已有的TCP链接，当前一个请求已经响应完毕，服务器端没有立即关闭TCP链接，而是等待一段时间接收浏览器端可能发送过来的第二个请求，通常浏览器在第一个请求返回之后会立即发送第二个请求，如果某一时刻只能有一个链接，同一个TCP链接处理的请求越多，开启KeepAlive能节省的TCP建立和关闭的消耗就越多。

当然通常会启用多个链接去从服务器器上请求资源，但是开启了Keep-Alive之后，仍然能加快资源的加载速度。HTTP/1.1之后默认开启Keep-Alive, 在HTTP的头域中增加Connection选项。当设置为Connection:keep-alive表示开启，设置为Connection:close表示关闭。